Der Sohn eines Lokomotivführers studierte Rechts- und Staatswissenschaften, bevor er sich nach dem Krieg in Frankfurt a. M. als Rechtsanwalt und Notar niederließ.

1945/46 war Euler Landrat des Kreises Hersfeld und initiierte den Aufbau der FDP Hessen mit, deren erster Vorsitzender er 1946 wurde. 1949 wurde er in den ersten Deutschen Bundestag gewählt, dem er bis 1958 angehörte. Zwischenzeitlich war er auch Mitglied des hessischen Landtages.

Euler gehörte dem nationalliberalen Flügel der Partei an und verließ 1956 aus Protest gegen den "Jungtürken-Aufstand", der zur sozial-liberalen Koalition in Nordrhein-Westfalen führte, die Fraktion, deren Vorsitz er 1951/52 inne gehabt hatte. Als Gründer der "Freien Volkspartei", die alsbald mit der "Deutschen Partei" (DP) fusionierte, versuchte Euler vergeblich ein politisches Comeback.

1958 wechselte er als Generaldirektor der EURATOM nach Brüssel. Bis zu seinem Tod 1966 in der belgischen Hauptstadt war er zuletzt als Berater der EURATOM-Kommission tätig.