In München geboren und in einer Familie mit freisinniger Tradition aufgewachsen, begann der Arztsohn Engelhard nach Abitur und Jurastudium seinen beruflichen Werdegang als Rechtsanwalt mit eigener Kanzlei.

Bereits 1954 trat der schon als Schüler politisch aktive Hans A. Engelhard in die FDP ein. 1970 wurde er Münchner Stadtrat und Parteivorsitzender in der bayerischen Metropole. 1972 war er dort Oberbürgermeister-Kandidat seiner Partei. Im gleichen Jahr gewann er ein Bundestagsmandat über die Landesliste und behielt dies durchgehend bis 1994.

Als Rechtsexperte seiner Fraktion trat er vor allem in Fragen des Ehe- und Scheidungsrechts sowie bei der Änderung des Wahlrechts in Erscheinung. Von 1977 bis 1982 war er zudem stellvertretender Fraktionsvorsitzender. Im Kabinett Kohl übernahm Engelhard 1982 das Bundesjustizministerium und blieb in diesem Amt Ressortleiter bis Anfang 1991. Engelhard verstand das Bundesjustizministerium während seiner gesamten Amtszeit als liberales Bollwerk gegen eine restriktivere Auslegung des Sicherheitsgedanken, insbesondere durch das Unions-geführte Innenministerium.

Hans A. Engelhard wurde mit zunehmender Amtsdauer vorgeworfen, das „rechtspolitisch-liberale“ Profil seiner Partei gegenüber dem Koalitionspartner nicht deutlich genug darzustellen. Zu Unrecht - wie das unbeirrte Festhalten des von ihm eingeschlagenen rechtspolitischen Weges zeigt; erwähnt seien das Opferschutzgesetz von 1986, das Betreuungsgesetz von 1990 sowie die Klarstellung im Bürgerlichen Recht, dass das Tier keine Sache, sondern ein Mitgeschöpf ist. Als erster Justizminister der Bundesrepublik Deutschland hat Engelhard mit einer in ganz Deutschland vielbeachteten Dokumentation auch die Aufarbeitung der unrühmlichen Geschichte der deutschen Justiz während des Nationalsozialismus angepackt. Zum Schluss seiner Amtszeit setzte Engelhard als „Justitiar der Vereinigung“ 1990 schließlich die Übertragung bundesdeutschen Rechts auf das Gebiet der ehemaligen DDR durch. Sein Ausscheiden aus Ministerium und Bundestag hatte vor allem gesundheitliche Ursachen. Hans A. Engelhard war Vorstandsmitglied der „Stiftung Theodor-Heuss-Preis e. V.“ und Ehrenmitglied der FDP.